脱单基础课教材:《恋爱分析》

恋爱分析(第一册)

数院学生会 编著

数院出版社

本文授权载自:数院学生会(ID:pkusmssu)

我最喜欢的书有两本,一本是数学分析,还有一本是恋爱分析。

——鲁迅

  恋爱分析(第一册)

数院学生会 编著

数院出版社

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第一章   表白与受恋性

在本章的讨论中,我们认为只要表白了就一定会成功。

定义1.1  设一个男生正在追求一个女生。他设想过无数次向女生表白的时刻;若存在时刻t,使得对任意的正实数M,总存在正整数N,当n>N时,男生第n次所设想的表白时刻与时刻t之间相差总小于M分钟,则称这个男生勇敢表白,并称t为该男生的脱单时刻,记为该男生的表白时刻趋近于t。若不存在这样的时刻t,则称这个男生

例1.1

     一个男生在每天早上设想:我明天早上一定要表白!证明:这个男生怂。

图1.1 一个典型的由于过于摇摆而变怂的例子

定义1.2  设一个男生正在追求一个女生。他设想过无数次向女生表白的时刻;如果对任意时刻t,总存在正整数N,当n>N时,男生第n次所设想的表白时刻都晚于t,则称该男生注孤生,并记该男生的脱单时刻为猴年马月

例1.2

     证明:例1.1中的男生不仅怂,而且注孤生。

例1.3

    一个男生第n次设想时把表白时刻推后了1/n,那么这个男生称为调和单身,是注孤生的。

图1.2 调和单身示意图

定义1.3  设一个男生正在追求一个女生。他设想过无数次向女生表白的时刻;如果存在时刻t,使得对任意正整数n,男生第n次所设想的表白时刻都早于t,则称该男生想脱单

定理1.1

(1)如果该男生在有限次设想时动摇了,改变了其设想的表白时刻,不影响该男生怂不怂。

(2)(唯一性)对同一次追求,勇敢表白的男生的脱单时刻是唯一的。

(3)(口嫌体正直性)不管男生嘴上说自己想不想脱单,勇敢表白的男生一定想脱单。

思考题  试举例说明定理1.1(3)的逆命题不真。

定义1.4  若男生每次设想的表白时刻都比上一次晚,则称该男生是磨蹭的。若男生每次设想的表白时刻都比上一次早,则称该男生是骚动的。

定理1.2

      (单调受恋原理)

对于一个磨蹭的男生,只要他想脱单,他总会勇敢表白。对于一个骚动的男生,他总会勇敢表白。

例1.4

    小王正在追求一个女生。小王的妈妈对小王说,如果寒假小王还没有表白,就要给小王安排相亲。已知小王虽然磨蹭但他不想相亲。 

     证明:他会勇敢表白。

定理1.3

      (闭区间套定理)

设一个男生正在追求一个女生。他每次会为自己设定一个表白的最早时刻和表白的最晚时刻,且每次设定的最早时刻都比上一次设定的晚,每次设定的最晚时刻都比上一次设定的早。如果每次所设定的这两个时刻越来越接近直至几乎重合,那么该男生存在唯一的脱单时刻。

例1.5

    正常文艺男青年在深夜时会显著提前自己的表白时刻,而在早晨起床后会显著推迟自己的表白时刻。

    现在假设每次提前或推迟的改变量递减接近0,证明该文艺青年会勇敢表白。

图1.3 文青不怂的一个充分条件

例1.6

    一个男生正在追求一个女生。他每次会为自己设定一个表白的时间段。如果他为自己设定的任意两个表白的时间段都有重合的部分。

    证明:存在一个表白的时刻t,它满足该男生每次为自己所设定的时间段限制。

定义1.5  设一个男生正在追求一个女生。他设想过无数次向女生表白的时刻;如果对于某个时刻 t 以及任意正实数M,该男生都设想过在时刻 t 的前后M分钟内表白,那么称男生在时刻 t 纠结

定理1.4

      (聚点原理)一个想脱单的人肯定至少在某个时刻纠结于是否要表白。

定理1.5

      (波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理)对于一个想脱单的人,总可以让他别想那么多,也就是只保留一部分设想的表白时刻,使得他会勇敢表白。

作业题:

试叙述(1)夹逼收敛原理;(2)柯西收敛定理;(3)有限覆盖定理。

感兴趣的单身贵族可在评论区提交作业,这必会为你的脱单道路增光添彩!

第二章:表白的成功率

在第一章的讨论中,我们假设了只要表白就一定会成功。但事实上我们知道,表白并不代表一定能够成功。换言之,表白成功是一个概率事件

定义2.1  设某人可以预想在某个时刻t附近的时段内其表白的成功率(称为预想成功率,在区间[0,1]内)。如果存在实数A,使得对任意的ε>0,他在时刻t左右的时刻的预想成功率都在区间(A-ε,A+ε)内,那么称他在时刻t可以尝试表白,且此番尝试的尝试成功率为A。

定理2.1

(唯一性和有界性)设某人在时刻t可以尝试表白。则:

(1)此番尝试的尝试成功率是唯一的;

(2)其在时刻t左右的时刻尝试表白,尝试成功率和在时刻t尝试表白差不多。

定理2.2

(比上不足比下有余受恋定理)若甲和乙在时刻t的尝试成功率均为A,且在时刻t左右的时刻,丙的预想成功率都不比甲低、不比乙高,则丙的尝试成功率也为A。

图2.1 单身狗宿舍的相似性

定义2.2  设某人可以预想在某个时刻t之后的时段内其表白的成功率。如果存在实数A,使得对任意的ε>0,他在时刻t之后一点点的时刻的预想成功率都在区间(A-ε,A+ε)内,那么称他在时刻t没必要拖了,且此刻尝试表白的迫不及待成功率为A。

定义2.3  设某人可以预想在某个时刻t之前的时段内其表白的成功率。如果存在实数A,使得对任意的ε>0,他在时刻t之前一点点的时刻的预想成功率都在区间(A-ε,A+ε)内,那么称他在时刻t稳得一匹,且此刻尝试表白的稳健成功率为A。

图2.2 此人稳得一匹

定理2.3

某人在时刻t可以尝试表白,当且仅当此人稳得一匹,没必要拖了,且迫不及待成功率等于稳健成功率。

定理2.4

(可惜受恋定理)某人在时刻t可以尝试表白的充分必要条件是,其在时刻t左右的任意两个时刻的预想表白率都差不多。

定义2.4  设某人可以预想在某个时刻t及其附近的时段内其表白的成功率。如果其可以在时刻t尝试表白,且预想成功率等于尝试成功率,则称此人在时刻t尚在发展;否则称其在时刻t有骚操作

定义2.5  设某人可以预想某段时间内表白的成功率。如果对这段时间内的每个时刻,其都尚在发展,则称此人技能都用完了

定义2.6 如果某人在时刻t的迫不及待成功率与稳健成功率均存在且相等,但不等于其在时刻t的预想表白率,那么称此人在时刻t随缘

图2.3 此人决定随缘

例2.1

小白与小蒋正在发展。小白认为,他只要表白,成功率约为80%;但如果在陪小蒋一起跨年的零点时刻有机会表白的话,那么表白成功率会上升为90%。

证明:小白在跨年零点时随缘。

定义2.7  如果某人在时刻t的迫不及待成功率与稳健成功率均存在但不相等,那么称此人在时刻t安排上了

图2.4 此人已经安排上了

例2.2

小雪与小五正在发展。在小雪生日前,小五认为自己的表白成功率为40%;但小五在小雪生日的时候送给了她一副自己亲手画的小雪的肖像画,小雪很喜欢,所以之后小五认为自己的表白成功率上升到了45%。

证明:小五在小雪生日安排上了。

定义2.8  如果某人在时刻t的迫不及待成功率与稳健成功率不全存在,那么称此人的骚操作在时刻t把自己骚死了

例2.3

阿北和阿清正在发展。阿清给阿北打了个电话唱了首歌,结果因为走音直接被阿北挂了电话,导致阿清完全难以预想之后的表白成功率。

证明:阿清的骚操作把自己骚死了。

例2.4

阿数和阿中正在发展。阿数认为,他向阿中表白的成功率在预想中是越往后越高的。

证明:阿数肯定不会有骚操作把自己骚死。

定理2.5

设某人在一段时间内技能都用完了。则必有一个时刻其预想成功率最高,也必有一个时刻其预想成功率最低。

作业题

1.证明:没有骚操作的人总可以想清楚自己应该在什么时刻表白。

2.在本章中至少出现了多少个男性?

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